El carcelero primero recorre todas las celdas, y las va abriendo una por una, de la uno a la 100
Una vez hecho esto, empieza de nuevo y cierra todas las pares.
Luego, vuelve hasta la celda número 3 y sigue saltando de 3 en 3 y las que encuentra abiertas, las cierra, y las que encuentra cerradas, las abre. En definitiva, cambia el estado de la celda.
Otra vuelta empezando por la celda número 4 y va saltando de 4 en 4 cambiando el estado de las celdas. Continúa este proceso hasta la número 100.
¿Qué puertas quedarán abiertas cuando finalice el proceso?
SOLUCIÓN
Al pasar una vez por la celda cambias su estado y si pasas dos las dejas en su estado original, es decir las únicas celdas que acabarán abiertas, serán las que tengan divisores impares, porque serán las celdas que terminen con el estado opuesto. Los únicos números que cumplen estos requisitos son los cuadrados perfectos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100.
Vamos a demostrar que es cierto, escojamos cualquier número al azar y factoricemoslo.
Ahora tendríamos que calcular el número de divisores que tiene el número que hemos elegido.
2^0 2^1 2^2
7^0 1 2 4
7^1 7 14 28
En el recuadro nos sale que el número 28 tiene un número par de divisores por lo cual la celda 28 estaría cerrada.
Ahora probemos con cualquier cuadrado perfecto del 1 al 100.
Voy a escoger el número 36, esta vez lo haremos con una fórmula en vez de con el recuadro. Factorizamos el 36.
N=(2+1)·(2+1)= 9
El número 36 tiene un número impar de divisores por lo cual esta celda estará abierta.Por lo tanto las celdas que quedarán abiertas, son aquellas por las que se pase un número impar de veces y sus divisores sean impares ,es decir todos los cuadrados perfectos del 1 al 100.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100.
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