CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS

Los números se pueden dividir en reales o imaginarios puros. De momento hablaremos solo de los reales en esta entrada.
REALES
Racionales: enteros y fraccionarios
       Enteros

• Naturales: es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto. Pueden ser primos(se puede dividir exactamente sólo entre 1 y él mismo), por ejemplo el 2,3,5,7..Y compuestos (se puede dividir exactamente entre otros números además de 1 y él mismo), por ejemplo 4,6,8,9,10...

• Cero: número comprendido entre -1 y 1.

• Enteros negativos: -1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9....

       Fraccionarios    

• Fracción propia: si su numerador es menor que su denominador. (2/3, 3/6...)   
• Fracción impropia: si su numerador es mayor que su denominador. (3/2, 9/17...)

Irracionales: algebraicos y trascendentes.

•  Algebraicos: son los números reales que son solución de alguna ecuación polinómica  cuyos coeficientes son números racionales. 

• Trascendentes: son los números reales que no son solución de ninguna ecuación polinómica de coeficientes racionales.

PROPOSICIONES MATEMÁTICAS

Una proposición matemática p es un contenido semántico al que se le asigna uno de dos posibles valores de verdad: V (verdadero) o F (falso).

Operadores lógicos:

• Negación: no p no ( no p) = p
• O lógica: p or q
• Y lógica: p and q
• Implicación: p  => q  (Se lee p implica q o también si p entonces q)
• Doble implicación: p <=> q


p es la hipótesis y q es la tesis, también se dice que p es condición suficiente para q y q es condición necesaria para p.



LEYES DE DE MORGAN





Ahora vamos a poner en práctica lo anterior.


 EJERCICIO RESUELTO
Enuncia la proposición, recíproca, contraria y contrarrecíproca de:
la suma de nº enteros impares es par.
DIRECTA 2N =>su suma es par
RECÍPROCA  su suma es impar => 2N impar
CONTRARIA si n no es impar o m no es impar => su suma no es par
CONTRARRECÍPROCA su suma no es impar => m no impar o n no impar

EL CARCELERO LOCO

En una cárcel hay 100 celdas numeradas del 1 al 100.
El carcelero primero recorre todas las celdas, y las va abriendo una por una, de la uno a la 100
Una vez hecho esto, empieza de nuevo y cierra todas las pares.
Luego, vuelve hasta la celda número 3 y sigue saltando de 3 en 3 y las que encuentra abiertas, las cierra, y las que encuentra cerradas, las abre. En definitiva, cambia el estado de la celda.
Otra vuelta empezando por la celda número 4 y va saltando de 4 en 4 cambiando el estado de las celdas. Continúa este proceso hasta la número 100.
¿Qué puertas quedarán abiertas cuando finalice el proceso?

SOLUCIÓN

Al pasar una vez por la celda cambias su estado y si pasas dos las dejas en su estado original, es decir las únicas celdas que acabarán abiertas, serán las que tengan divisores impares, porque serán las celdas que terminen con el estado opuesto. Los únicos números que cumplen estos requisitos son los cuadrados perfectos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100.
Vamos a demostrar que es cierto, escojamos cualquier número al azar y factoricemoslo.
             


Ahora tendríamos que calcular el número de divisores que tiene el número que hemos elegido.

                                                                 2^0 2^1 2^2
                                                         7^0   1 2 4
                                                         7^1         7     14 28

En el recuadro nos sale que el número 28 tiene un número par de divisores por lo cual la celda 28 estaría cerrada.
Ahora probemos con  cualquier cuadrado perfecto del 1 al 100.
Voy a escoger el número 36, esta vez lo haremos con una fórmula en vez de con el recuadro. Factorizamos el 36.

N=(2+1)·(2+1)= 9

El número 36  tiene un número impar de divisores por lo cual esta celda estará abierta.Por lo tanto   las celdas que quedarán abiertas, son aquellas por las que se pase un número impar de veces y sus divisores sean impares ,es decir todos los cuadrados perfectos del 1 al 100.

                                           1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100.